Stærðfræði er misskilið fag

Í meira en tvöþúsund ár hefur maðurinn notað stærðfræði við þekkingarleit. Uppgötvanir í stærðfræði hafa orðið þegar við reyndum að lýsa heiminum, og þegar við reyndum að finna grunnsannindi með hugsuninni einni. 

Á síðasta árhundraði hefur stærðfræðinni verið beitt til að skoða samfélag mannanna, hvernig fólk kýs, aldursgreiningu á fornminjum, til að skoða umferðarþunga eða skipuleggja skógrækt svo dæmi séu tekin. Í dag er stærðfræðin verðmætari en nokkru sinni fyrr, bæði sem aðferð við að hugsa um hlutina og við að tjá sig um þá. Sá sem vill kallast menntaður verður að geta hugsað á stærðfræðilegum nótum.

Málsgreinin að ofan er af heimasíðu stærðfræðideildar Kenyon háskóla. 

Því miður eru margir í Bandaríkjunum -- ég verð eiginlega að segja mjög margir, utangátta í stærðfræði og finnst hún vera ráðgáta. 

Margir sjá ekki hvaða erindi stærðfræðin á í almennri grunnmenntun. Stærðfræði er fyrir verkfræðinga, vísindamenn og bókhaldara en af hverju fyrir alla aðra? 

Af hverju hafa margir ranghugmyndir um stærðfræði? Stærsti misskilningurinn um stærðfræði, sem dregur úr og hræðir flesta nemendur, er að hún sé öll um útreikninga og yrðingar og jöfnur. 

Það virðist vera algeng ranghugsun að stærðfræðin sé búnki af reglum og jöfnum sem Guðmávita hver fann upp og nemendum beri að muna utanað. 

Einn daginn muni yfirmaðurinn koma og segja "Fljótt, hvernig er annars stigs jafnan", eða "Ég þarf að vita hvað þrjú x í öðru mínus sex x plús einn er diffrað!" 

Það eru engir slíkir yfirmenn til. Hvernig er þá stærðfræðin í alvöru? 

Stærðfræðin fjallar ekki um svör heldur um aðferðir við að hugsa. Ég ætla að leyfa mér að koma með nokkrar dæmisögur til að komast að rótum þessa misskilnings og reyna að útskýra um hvað stærðfræðin fjallar. Samlíkingar eru ekki fullkomnar er hver og ein getur kannski varpað smá ljósi á misskilninginn. 

Vinnupallar 

Þegar hús er smíðað eru vinnupallar reistir. Verkamenn ganga eftir þeim og geyma þar verkfærin meðan þeir byggja húsið. Pallarnir sjálfir skipta engu máli einir sér, þeir eru hluti af aðferðinni við að byggja. Það væri fáránlegt að reisa þá og labba svo burt, og halda að einhverju takmarki hafi verið náð sem máli skiptir. 

Samt gerist þetta í allt of mörgum stærðfræðikennslustundum. Nemendur læra jöfnur og hvernig á að setja tölur inn í þær. Þeir læra utanbókar aðferðir við að leysa ákveðnar jöfnur eða diffra. En allir þessir hlutir eru bara vinnupallar. Þeir eru nauðsynlegir, en einir sér eru þeir gagnslausir. Ef nemendur læra bara þessa yfirborðskenndu hluti og halda svo að einhvað gagnlegt hafi átt sér stað, er það slæmt. 

Byggingin í samlíkingunni er skilningurinn sem fæst, það er hæfileikinn til að hugsa, greina og skilja hlutina stæðfræðilega. 

Tilbúinn til leiks 

Íþróttamenn æfa klukkutímum saman fyrir leiki, oft í æfingasölum með ýmsum tækjum. Þjálfarar setja saman fyrir þá æfingaáætlun. Íþróttamennirnir hlaupa á hlaupabrettum án afláts. Af hverju? Eru þeir þá að fá kunnáttu í að spila fótbolta eða körfu? Nei. 

Ímyndaðu þér að það séu sekúndur til leiksloka, jafntefli. Þjálfarinn segir við leikmennina: "Nú reynir á, þið vitið hvað þarf til!" Ná þeir þá í hlaupabrettin og byrja að hlaupa á þeim? Auðvitað ekki. Af hverju voru þeir þá að æfa á þeim, var það tímaeyðsla? Auðvitað ekki. Ef þau voru notuð rétt fengu íþróttamennirnir úthald og þrek sem er ómissandi. Þannig er stærðfræðikennsla líka, hún gefur andlegt úthald og þrek. 

Þrætugjarni sessunauturinn 

Þegar ég var í barnaskóla las ég bókaröð um Óla og Ásu. Það voru setningar í bókunum eins og: "Óli á Ási á ás". Óli átti hund sem hét Snati. 

Hvað hefur þetta með stærðfræðikennslu að gera? Þegar ég hitti fólk í samkvæmum og segist kenna stærðfræði, lendi ég stundum í hálfgerðum þrætum sem byrja svona: "Sko, ég þurfti að læra annars stigs jöfnuna í menntó og ég hef aldrei þurft að nota hana. Ég er búinn að gleyma henni, hún var alger tímaeyðsla. Hefur ÞÚ þurft að nota hana?" 

Ég freistast til að svara: "Nei, auðvitað ekki og hvað með það?". Reyndar hef ég notað hana við að leysa vandamál í stærðfræði og forritun, en sjaldan. 

Ef ég hefði kennt þessu fólki að lesa, hefði það þá spurt mig: "Ég man ekki lengur hvað hundurinn hjá Óla og Ásu hét og hef reyndar aldrei notfært mér að þau hétu þessum nöfnum. Þú eyddir tíma mínum í barnaskóla!". 

Auðvitað ekki. Fólk veit og skilur að smátriðin í sögunni skiptu ekki máli. Aðalatriðið var að læra að lesa. Leskunnátta er lykill að heiminum, og það er stærðfræðin líka. Ef stærðfræðikennslan hefði verið nógu góð hjá þessu fólki hefði það vitað að annars stigs jafnan var ekki aðalatriðið. 

Tillitssami píanókennarinn 

Ímyndaðu þér píanókennara sem býr til hljóðlaust píanó til að einfalda píanókennsluna. Nemandinn á ekki að heyra neitt sem truflar. Hann á að setjast niður og ýta á píanólyklana í réttri röð. Hann þarf bara að muna endalausar raðir af nótum, A, C#, B o.s.frv. Hann þarf að læra á öll merkin á nótnaheftinu og reglurnar við að lesa og skrifa þau en aldrei fær hann að heyra tónlist! Kennarinn heldur að með þessu sé hann að hlífa nemandanum við óþarfa truflun! 

Auðvitað væri þetta út í hött. Slík kennsla væri pynting. Enginn kennari myndi gera slíkt, að taka sálina úr upplifunninni sem tónlist er. Samt hefur þetta gerst í stærðfræðikennslu í skólum síðastliðin 25 ár. 

Einhverra hluta vegna hafa stærðfræðinemendur verið sviknir um tónlistina og sitja nú eftir með tómar reglur. Besta dæmið um þetta er í rúmfræðikennslu þar sem sannanir hafa verið fjarlægðar úr kennsluefninu. Halda kennarar sig vera að gera nemendum greiða - eða skilja þeir kannski ekki hvað stærðfræði er? 

Stígðu hærra 

Þegar ég var í meistaranámi las ég bók um líkamsrækt eftir mann sem hét Cooper. Hann mælti með brennsluæfingum, hlaupum upp stiga, hlaupum á staðnum, sundi, allt samkvæmt dagskrá sem hann útlistaði í bókinni. Það var vetur og allt á kafi í snjó svo ég keypti svampmottu og stillti mér upp fyrir framan sjónvarpið og fylgdi hlaupaæfingunum í bókinni um veturinn meðan ég horfði á sjónvarpið. Ég hlakkaði til að komast út um vorið og hlaupa tíu kílómetrana á 35 mínútum eins og bókin sagði að ég myndi geta gert miðað við dagskrána sem ég fylgdi. 

Um vorið fór ég út að hlaupa en eftir nokkrar mínútur var ég orðinn móður! Þeir sem hlupu með mér ruku framúr. Ég varð að gefast upp, miður mín! Hvað hafði farið úrskeiðis? 

Ég skildi það seinna. Í kaflanum um hlaup á staðnum, stóð að það þyrfti að lyfta fótunum vel frá gólfinu. Allar vikurnar þegar ég hljóp fyrir framan sjónvarpið hafði ég ekki fylgt þessu. 

Ef þú hefur ekki alvöru viðfangsefni (útihlaup í mínu tilviki) er auðvelt að halda að þú sért í framför af því þú fylgir æfingadagskrá, sem er svo ekki í neinum takti við raunveruleikann. Það er freistandi að slaka á og halda að þú sért að verða góður en svo fer sú góða tilfinning út um gluggan þegar reynir á í alvöru. Í mínu tilfelli var ástæðan sú að ég lyfti ekki fótunum nógu hátt, þetta var ekki bókarhöfundi að kenna. 

Margir nemendur úr menntaskóla lenda í svona áfalli þegar þeir koma í stærðfræðikennslu í háskóla. Bandarískir nemendur dragast aftur úr jafnöldrum sínum í öðrum löndum. Við þurfum að setja markið hærra, en á raunverulegan hátt sem hvetur nemendur. 

Græjudýrkun í kennslu 

Í seinni heimstyrjöld lögðu bandarískir hermenn undir sig eyjar í Eyjahafi á leiðinni til Japan. Margir eyjarskeggjar höfðu aldrei séð útlendinga. Það hlýtur að hafa verið ótrúlegt fyrir þá að sjá skipin og flugvélarnar koma, fólkið sem kom á þeim hefur líkst guðum. Allur búnaðurinn sem hermennirnir komu með sér, loftnetin, byggingarnar, maturinn, vopnin, húsgögnin hefur líka verið næsta ótrúlegur. 

Þegar stríðinu lauk fóru hermennirnir, og skipin og flugvélarnar og þá gerðist svolítið skrýtið. Eyjaskeggjar fóru að ákalla guðina með því að gera það sama og bandaríkjamenn höfðu gert. Þeir fóru inn í yfirgefna flugturnana, bjuggu til loftnet úr trjágreinum og talstöðvar úr kóskosskeljum, hrópuðu í kókoshneturnar og báðu flugvélarnar um að lenda með meiri mat og búnað. Auðvitað kom enginn (nema mannfræðingar). Þessi undarlegu trúarbrögð voru skírð "Græjudýrkun" (Cargo Cult). 

Sorglegt, fyndið, ömurlegt kannski, en hvað hefur þetta með stærðfræðikennslu að gera? Heilmikið, því miður. Eyjarskeggjarnir gátu ekki gert greinarmun á því sem þeir sáu gerast á yfirborðinu, og því sem var að geast undirniðri. Þeir vissu ekki að til er rafmagn, eða útvarpsbylgjur eða flugvélaverkfræði. Þeir hermdu eftir því sem þeir sáu og það var allt á yfirborðinu. 

Of margir menntaskólar hafa gert þetta sama á síðastliðnum 25 árum í stærðfræðikennslu. Kennarar sem vilja vel en skilja ekki náttúru stærðfræðinnar sjá bara skelina en ekki kjarnann. Útkoman er græjudýrkunar stærðfræði. Í kennslustundum eru guðirnir ákallaðir en ekkert gerist. Svarið felst ekki í fleiri slíkum kennslustundum eða þykkari kennslubókum eða flottari reiknivélum. Eina svarið er alvöru skilningur á stærðfræðinni. 

Menntun og þjálfun ruglað saman 

Þjálfun er það sem þú færð þegar þú vinnur með rennibekk eða fyllir út skattskýrslu. Þú færð hana þegar þú notar vélar sem aðrir smíðuðu til að leysa fyrirfram ákveðin verkefni. Margir fara á námskeið til að fá réttindi á vélar eða eyðublöð. Svo geta þeir fengið vinnu sem kallar á þessa sömu þjálfun. 

Menntun er allt annað. Hún fjallar ekki um ákveðna vél. Menntun er breiðari og dýpri en þjálfun. Hún snýst um að rækta þekkingartré í huga nemandans þar sem greinarnar eru hugtök sem samanlagt endurspegla raunveruleikann. Hún er ekki listi af staðreyndum. 

Skyld hugtök tengjast á trénu og styrkja hvort annað. Menntun er aldrei lokið, ný hugtök bætast á tréð sem vex og dafnar alla ævina. 

Menntun byggist á staðreyndum eins og hús er byggt úr steinum. En safn af steinum gerir ekki hús, og safn af staðreyndum er ekki menntun. 

Vel upplýstir einstaklingar geta oft giskað á rétt svör af því þeir hafa góða bakgrunnsþekkingu. 

"Educated Guess" mætti þýða sem "upplýst ágiskun". Það er þegar vel menntað fólk giskar á rétt svar út frá því sem það veit um heiminn. Þeir sem eru góðir í "Útsvar" eða "Jeopardy" gera þetta þegar þeir finna rétt svar út frá þeim upplýsingum sem spyrillinn lætur í té. Hins vegar er ekki til neitt sem heitir "þjálfuð ágiskun". 

Margir skilja allt sem ég hef sagt en eru ekki sannfærðir. Það þarf að borga reikningana. Er þá einhvers virði að kunna stærðfræði? Já reyndar, því það eru mörg störf í boði fyrir stærðfræðinga! 

Tölvur, stærðfræði og kvöldgesturinn minn 

Fyrir uþb. nítján árum voru heimilistölvur á leið á markaðinn. Ég borðaði hádegismat með nokkrum aðilum og það barst í tal að ég væri stærðfræðingur. Einn matargesturinn brosti kankvíslega og sagði: Nú eru tölvur orðnar svo fljótar og nákvæmar, sérðu ekki eftir að hafa farið í stærðfræðina?" 

Hún vorkenndi mér, hélt að ég yrði atvinnulaus. Hún virtist halda að stærðfræðingar gerðu ekkert allan daginn en að reikna! 

Ekkert er fjær sanni. Það er eins og að halda að af því bíllinn hafi tekið við af hestum þyrfti enga ökumenn framar. 

Í dag eru tölvur öflugar og hugbúnaðurinn líka. Þess vegna geta stærðfræðingar leikið sér með hugmyndir sem þeir hafa beðið í mörg ár með að geta útfært. Til dæmis er dulkóðun nú orðin raunhæf, hún er notuð á krítarkortum og á heimasíðum fyrirtækja til að gæta öryggis. Dulkóðun byggist á hugmyndum úr algebru og talnafræði og það að þú getir skipst á leyndarmálum við bankann þinn er mögulegt vegna hugmynda sem menn fengu í þessum fögum. 

Að lokum eru nokkrar tilvitnanir í David Garcia: 

Bandaríkjamenn eru hrifnir af tækninni, en þeir skilja sjaldnast vísindin að baki hennar. Þeir skilja enn síður stærðfræðina á bakvið, rétt eins og þar séu heilög vé þar sem einungis hofprestarnir mega stíga. 

Þeir sjá alla gómsætu ávextina af þekkingartrénu en þeir sjá ekki laufin og greinarnar eða stofninn. Fyrir þeim er tréið sjálft án tilgangs. "Til hvers er stærðfræðin?" spyrja þeir. "Ég mun aldrei nota hana". Þegar þjóðarleiðtogarnir eru lögfræðingar, hermenn og kvikmyndastjörnur en ekki vísindamenn, heimspekingar og andlega þenkjandi fólk þá er ekki við öðru að búast en að fólk mæni á ávextina en missi sjónar á trénu sem þeir hanga á. 

Hvað fær okkur til að verða svona yfirborðskennd?  Yfirborðsmennska er ekki fallegt orð en við þurfum spark í rassinn og taka okkur taki því vandamálið í vestrænum kennsluaðferðum er vissulega til staðar. 

Fyrsta skrefið til að bæta úr vandanum er að skilja að það nægir ekki að skoða yfirborð vandamála eða skoða þau úr öllu samhengi, matreidd fyrir nemendur af sérfræðingum í hverju og einu undirfagi. Smáskammtar af yfirborðskenndum fyrirlestrum eru þýðingarlausir. 

Kennsla fjallar ekki um að hella þekkingu úr einum haus í annan eins og hellt væri úr könnu í glas. Hún er líkari því þegar kerti er notað til að kveikja á öðru kerti. Hvert eitt kerti hefur sína eigin orku. Sannur kennari kveikir þrá eftir fegurð og sannleika í hjarta hvers nemanda, svo tekur hugurinn við og nemandinn þarf aðeins leiðsögn frá kennaranum. 

Kennarar sem geta gert þetta, geta innblásið nemendum ást á stærðfræði í stað þess að gefa þeim óbragð í munninn af því kennarinn kunni ekki sjálfur fagið og hafði ekki áhuga á frábæru viðfangsefni. 

Þýtt af:

http://www.fordham.edu/academics/programs_at_fordham_/mathematics_depart me/what_math/index.asp 

Svona lítur árið út í hnotskurn

Smellið á myndina til að sjá hana stærri. 

Á myndinni táknar hver dálkur eina viku í árinu, og hver lína táknar klukkustund í sólarhringnum.

Takið eftir því að um hásumarið eru uþb. sex vikur þar sem sólin skín allan sólahringinn.

Takið líka eftir því að í desember og janúar eru aðeins sex bjartar klukkustundir.

Að síðustu má benda á að vegna þess að sólin á íslandi er einni klukkustund og 15 mínútum á eftir klukkunni er myndin ekki eins að ofan og neðan, það eru fleiri myrkurstundir á myndinni ofanverðri en neðanverðri, og það er það sem málið snýst um.  Eigum við að gera þessa mynd samsíða?

 

 

 

 

 

 

 

 

(Myndina bjó ég til úr mörgum heimsóknum á vefmyndvél árið 2002). 

Vilja seinka klukkunni

Kennslubækur eru líka bækur

Þær eru ófáar stundirnar þegar ég hef setið með syni mínum og reynt að komast í gegnum óskiljanlegar málsgreinar í íslenskum kennslubókum. Oftast er skilningsleysið tilkomið af því notað er íslenskt nýyrði sem er ekki skilgreint í textanum áður en það er notað. Enska þýðingu vantar í sviga svo ekki er hægt að fara á Wikipedia til að fræðast, og svo vantar atriðisorðaskrá í bókina svo fyrsta tilvitnun í orðið er illfinnanleg ef hún skyldi vera til staðar í bókinni.

Framan á íslenskum kennsluheftum er yfirleitt tilgreindur einn höfundur, en enginn var ritstjórinn. Enginn sem þakkað er fyrir að hafa lesið heftið yfir og komið með ábendingar. Fyrir vikið eru gæðin á þessum bókum á við sæmilega skrifaðar blogg-greinar.

Má ég leggja til að til kennsluhefta/bóka séu gerðar lágmarkskröfur, eins og að þær hafi verið "editeraðar" af einhverjum öðrum en höfundi, og að í þeim sé atriðisorðaskrá sem er nothæf.

Svo leyfi ég mér að segja að engum sé gerður greiði með sumum nýyrðunum, sem hvergi koma fyrir í bók, fyrr eða eftir kennslubókina - hugsanlega bjó kennarinn til nýyrðin um leið og hann skrifaði hana.

PS: Síðast þegar ég lenti í þessu, var um að ræða kafla sem hetir "Ummyndun í jarðvegi" og byrjar á að segja hvar ummyndun í jarðvegi sé helst að finna á Íslandi, en aldrei hvað hún er.

Bylting í danska skólakerfinu